Proprietà delle potenze: ecco quali sono

La proprietà delle potenze è un argomento della matematica che intrattiene anche le menti più fini. Questa antica scienza che studia il rapporto tra i numeri e tutti i calcoli possibili necessita di attenzione e concentrazione per essere compresa. In questo articolo affronteremo il rapporto tra le potenze, ma prima di farlo faremo una breve introduzione sull’importanza delle scienze matematiche e sulla distinzione tra i vari temi affrontati e le metodologie applicate.

Lezioni di matematica: le origini

Leggere, scrivere e far di conto. Fin da piccoli ci insegnano l’importanza dei numeri e del saper fare i calcoli. Apprendiamo la matematica dalle scuole elementari e mano mano che avanziamo nel percorso scolastico apprendiamo a fare operazioni sempre più complesse. Tu sei stato uno di quelli che in matematica avevano sempre ottimi voti? Beato te, non è così per tutti. La radice quadrata, le prime espressioni matematiche mettono molta preoccupazione agli studenti. Alcuni arrivano alle loro facoltà universitarie dimenticando del tutto il mondo della matematica.

Eppure, fin dai tempi più antichi gli studiosi e i sapienti si è sempre sostenuto che la matematica fornisce una conoscenza profonda dei fatti del mondo, poiché astrae la realtà in oggetti definiti e trova risposte valide perché:

• Concrete
• Certe
• Dimostrabili

La potenza della matematica le ha concesso il merito di essere battezzata come regina delle scienze, un motivo ci sarà, no? Questa disciplina scientifica, al pari della fisica, dell’ingegneria e dell’economia si basa su rigorosi strumenti di analisi e calcolo, che nell’epoca contemporanea sono supportati dalla tecnologia.

Il linguaggio matematico

Imparare la proprietà delle potenze implica la conoscenza dei simboli matematici, che sono universali e conosciuti ormai dal lontano XVI secolo. Pensa che un tempo si parlava delle questioni di matematica elementare, come le operazioni tra numeri interi, attraverso il linguaggio verbale o scritto. Allora le intuizioni non potevano correre veloci come dopo che Eulero si mise d’impegno per codificare i simboli matematici e fornire le notazioni, molte delle quali ancora in uso.

Dobbiamo ammettere che certi termini matematici rimangono tuttora di difficile comprensione, ad esempio:

• Omeorfismo
• Integrabile
• Solo
• Aperto
• Campo

Non tutti i termini sono astrusi o poco conosciuti, tutt’altro. Si tratta di termini in uso nella lingua italiana ma che possiedono un diverso significato all’interno del linguaggio matematico.

Teoria e pratica della matematica

Scegliere di studiare matematica non è da tutti. Sicuramente il numero di iscritti al corso di laurea ha subito un’impennata negli ultimi decenni, perché l’applicazione di questa scienza per la tecnologia e l’ingegneria ha convinto molti studenti con una buona mentalità scientifica a prendere questa decisione.

La matematica è stata caratterizzata da due tipi di approccio differenti:

• Motivazioni applicative
• Esigenze di sistemazione concettuale

L’ultima tendenza è più astratta, mentre la prima è pratica. Queste due spinte sono entrate spesso in contraddizione, nonostante una buona relazione e scambio sia indubbiamente capace di arricchire la disciplina di stabilire sinergie in grado di ottenere grandi cambiamenti e risultati in molti altri cambi.

Da una parte abbiamo una matematica interessata a fornire strumenti da applicare alla vita, concreti e incisivi sulla realtà, dall’altra un’indagine sulla verità e sulle leggi del mondo e della natura, trattate come pura materia astratta. Un tipo di ricerca che si avvicina maggiormente alla filosofia.

In generale possiamo affermare che sono diversi e unici i temi trattati dall’indagine matematica, che si sollevano problemi diversi e che necessariamente possiedono argomentazioni diverse. Questi temi sono:

• Algebra
• Aritmetica
• Geometria
• Analisi

I primi problemi che si affrontano, quelli che ricordiamo tutti dell’epoca in cui stavamo sui banchi della scuola elementare sono quelli di aritmetica, che appartengono alla matematica elementare. Con questa disciplina si affrontano i classici calcoli con quattro operazioni che possono essere utili per:

• Valutare grandezze geometrica
• Valutare grandezze meccaniche
• Calcoli applicati a oggetti e tecniche della vita quotidiana
• Contabilità finanziaria

All’inizio si apprendono calcoli piuttosto semplici, a cui si aggiungono problemi sempre più complessi, che includono la conoscenza dei numeri interi relativi e dei numeri razionali.

Come si calcolano le potenze

L’argomento di questo articolo sono le proprietà delle potenze. Abbiamo visto come la matematica sia nata e si sia evoluta alla ricerca di situazioni che riuscissero a restituire con la semplicità la complessità manifesta del reale. Alla fine le operazioni non sono nient’altro che questo: un tentativo di astrazione e semplificazione.

Anche le famose moltiplicazioni a colonna sono un chiaro esempio di matematica volta alla riduzione della complessità di un’operazione. Per rendere più semplice il risultato di un’addizione come 2+2+2+2 la matematica propone di ricavare il risultato scrivendo 2×3. Questo da un vantaggio in termini di tempo, non è un dettaglio da trascurare. Quando le operazioni riguardano numeri molto più grandi e sono necessari per potenti calcolatori che controllano aziende o altro questa semplificazione si traduce in minor energia impiegata e riduzione dei tempi notevole.

Un altro modo per semplificare l’operazione di addizione e moltiplicazione che ti abbiamo mostrato sono le potenze. Le moltiplicazioni in serie che coinvolgono la stessa base possono essere abbreviate elevando a potenza la base stessa. Come si fa? Prima abbiamo parlato di notazioni matematiche. Bè, avrai senz’altro notato quei piccoli numeretti che sono posti in altro a destra di un altro numero scritto con carattere più grande. Quella è la potenza, viene così rappresentata:

• 6²
• 2³
• 4³
• 90²

Qui abbiamo riportato la base, il numero sottostante e più grande, e l’esponente, quello piccolo in alto a destra.

La spiegazione è molto semplice: la base è un numero che dev’essere moltiplicato per se stesso tante volte quante il numero dell’esponente indica.

Se la base è il numero 4 e l’esponente è 3, il numero 4 dovrà essere moltiplicato per 3 volte. Attenzione, alcuni possono essere tratti in inganno e commettere un errore banale, come quello di moltiplicare 4×3 il cui risultato è 12. No, niente di più sbagliato, l’operazione è la seguente: 4 x 4 x 4 = 64. È tutto chiaro adesso?

Tra gli esempi qui sopra ti abbiamo messo anche un numero più grande, come il 90. Non ci sono limiti alla grandezza dei numeri, la capacità di calcolo diventa sempre più complessa, ma un buon computer può sicuramente fornire in breve tempo il risultato.

Proprietà delle potenze: le regole

Come in tutte le operazioni matematiche che si rispettino ci sono delle regole ben precise da rispettare. Te le illustriamo per aiutarti a entrare ancora meglio nel meccanismo del calcolo delle potenze.

Partiamo dalla regola del prodotto di due o più potenze con la stessa base. Questo è uguale ad una potenza con quella base ed esponente pari alla somma di tutti gli esponenti. La regola è traducibile nella seguente formula:

a²·a³ = a²⁺³

Se la base è la stessa può essere raggruppato tutto mantenendo la sola base e sommando gli esponenti (mi raccomando, somma e non moltiplicazione!)

Nell’evenienza in cui ti trovi a dover calcolare il quoziente di potenze con la stessa base sappi che questo è uguale ad una potenza con tale base ed esponente ricavato dalla differenza tra i diversi esponenti. Traduciamo con questa formula:

a³ / a² = a^3-2

In questo caso è importante ricordare che non si divide, bensì si sottrae.

Per ultimo ti illustriamo la potenza di una potenza. Questa è uguale ad una potenza con la stessa base ed esponente pari al prodotto dei due esponenti (in questo caso si moltiplica!).

(a²)³ = a^2·3 = a⁶

Dunque la potenza di una potenza si ottiene dalla moltiplicazione tra le due potenze.

Interessante, scervellotica, logica e divertente, la matematica è un linguaggio che stimola l’intelligenza, aiuta a comprendere meccanismi complessi del mondo e stimola il pensiero nazionale. Speriamo che questo articolo ti abbia fatto venire voglia di studiarla per bene.